Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 166

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{ ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} px $
Sehingga :
$ 1 - \cos \frac{2}{x} = 1 - (1-2\sin ^2 (\frac{1}{2}.\frac{2}{x} ) = 2\sin ^2 \frac{1}{x} $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{a}{bc} = \frac{a . \frac{1}{b}}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x} . \frac{1}{x^2} }{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin 3\frac{1}{x} \, . (\frac{1}{x})^2 }{\left(2\sin ^2 \frac{1}{x} \right).\sin \frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y . y^2 }{\left(2\sin ^2 y \right).\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \left( \frac{1}{2}.\frac{\sin 3y}{\sin y} .\frac{y}{\sin y} .\frac{y}{\sin y} \right) \\ & = \frac{1}{2}. \frac{3}{1}. 1.1 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar