Cara 2 Pembahasan Limit UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} = .... $
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika limit bentuk tak tentu (hasilnya $\frac{0}{0}$), maka bisa diselesaikan dengan beberapa cara yaitu pemfaktoran, merasionalkan, dan dalil L'Hopital (turunan).
*). Pemfaktoran :
i). $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $
ii). $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $
iii). $ ab - b = b(a-1) $
*). Merasionalkan dilakukan dengan mengalikan bentuk sekawannya

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Merasionalkan
*). Memfaktorkan pembilang dan penyebutnya :
Pembilangnya :
$\begin{align} & x^3 - x^2 - x + 1 \\ & = (x^3 - x^2 ) - (x -1) \\ & = x^2(x - 1 ) - (x -1) \\ & = (x - 1 )(x^2 - 1) \\ & = (x - 1 )(x - 1)(x+1) \\ & = (x - 1 )^2(x+1) \\ \end{align} $
Penyebutnya :
$ \begin{align} x - 2\sqrt{x} + 1 & = (\sqrt{x} - 1)^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x - 2\sqrt{x} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{(x - 1 )^2(x+1)}{(\sqrt{x} - 1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{(x - 1 )^2(x+1)}{(\sqrt{x} - 1)^2} \times \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} + 1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{(x - 1 )^2(\sqrt{x} + 1)^2(x+1)}{(x - 1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, (\sqrt{x} + 1)^2(x+1) \\ & = (\sqrt{1} + 1 )^2.(1+1) \\ & = 4 . 2 = 8 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 8 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar