Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = \frac{15x-1}{x+k} $ di titik $(x_0,y_0) $ dengan $ x_0 = k + 1 $ memotong sumbu X di $(\frac{1}{2} , 0 ) $. Nilai $ y_0 = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ \frac{45}{2} \, $ E). $ 45 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_0, y_0) $ :
$ \, \, \, \, \, y - y_0 = m(x - x_0) $
dengan $ m = f^\prime (x_0) $
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V - U . V^\prime }{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ y_0 $ dengan substitusi $ x_0 = k+1 $ :
$\begin{align} y & = \frac{15x-1}{x+k} \\ y_0 & = \frac{15(k+1)-1}{(k+1)+k} \\ y_0 & = \frac{15k + 14}{2k + 1} \end{align} $
*). Menentukan turunan dan gradien $ m $:
$\begin{align} y & = \frac{15x-1}{x+k} \\ y^\prime & = \frac{15.(x+k) - (15x-1).1}{(x+k)^2} \\ y^\prime & = \frac{15k + 1}{(x+k)^2} \\ m & = f^\prime (x_0) = f^\prime (k+1) \\ & = \frac{15k + 1}{((k+1)+k)^2} \\ & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan garis singgung :
$\begin{align} y - y_0 & = m (x - x_0) \\ y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -(k+1)) \\ y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -k - 1) \end{align} $
*). Substitusi titik $(\frac{1}{2} , 0 ) $ ke persamaan garis singgung :
$\begin{align} y - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (x -k - 1) \\ 0 - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} (\frac{1}{2} -k - 1) \\ - \frac{15k + 14}{2k + 1} & = \frac{15k + 1}{(2k+1)^2} . -\frac{1}{2} (2k + 1) \\ - (15k + 14) & = (15k + 1). -\frac{1}{2} \\ 2(15k + 14) & = (15k + 1) \\ 30k + 28 & = 15k + 1 \\ k & = \frac{-9}{5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ y_0 $ :
$\begin{align} y_0 & = \frac{15k + 14}{2k + 1} \\ & = \frac{15. \frac{-9}{5} + 14}{2. \frac{-9}{5} + 1} \\ & = \frac{15. \frac{-9}{5} + 14}{2. \frac{-9}{5} + 1} \times \frac{5}{5} \\ & = \frac{-135 + 70}{-18 + 5} = \frac{-65}{-13} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ y_0 = 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar