Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui deret aritmetika dengan beda 1. Jika jumlah pangkat tiga dari tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat tiga dari suku ke-2, maka jumlah tiga suku pertamanya adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ :
$ U_n = a + (n-1)b $
*). Jumlah $ n $ suku pertama :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b = 1 $ :
jumlah pangkat tiga dari tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat tiga dari suku ke-2 , persamaannya adalah
$\begin{align} U_1^3 + U_2^3 + U_3^3 & = 3U_2^3 + 18 \\ U_1^3 + U_3^3 & = 2U_2^3 + 18 \\ a^3 + (a+2b)^3 & = 2(a+b)^3 + 18 \\ a^3 + (a+2.1)^3 & = 2(a+1)^3 + 18 \\ a^3 + (a+2)^3 & = 2(a+1)^3 + 18 \\ a^3 + (a^3 + 6a^2 + 12a + 8) & = 2(a^3 + 3a^2 + 3a + 1) + 18 \\ 2a^3 + 6a^2 + 12a + 8 & = 2a^3 + 6a^2 + 6a + 20 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ S_3 $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ S_3 & = \frac{3}{2}(2.2 + (3-1).1) \\ & = \frac{3}{2}(4 + 2) = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ S_3 = 9 \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar