Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ a $ agar persamaan kuadrat $ x^2 - 8x + 2a = 0 $ mempunyai dua akar yang berlainan dan positif adalah ....
A). $ a > 0 \, $ B). $ a < 8 \, $
C). $ 0 < a < 8 \, $ D). $ a > 8 \, $
E). $ a < 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Persamaan kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar berlainan dan positif yaitu :
$ x_1+x_2 > 0 \, $ , $ x_1.x_2 > 0 \, $ , dan $ D > 0 $
Solusinya adalah irisan dari ketiga himpunan di atas.
dan rumus-rumus :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ , $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan syarat-syaratnya :
PK : $ x^2 - 8x + 2a = 0 \rightarrow a = 1, b = -8, c = 2a $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-8)}{1} = 8 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2a}{1} = 2a $
$ D = b^2 - 4ac= (-8)^2 - 4.1.(2a) = 64 - 8a $
-). Syarat pertama :
$\begin{align} x_1 + x_2 & > 0 \\ 8 & > 0 \, \, \, \text{(Benar)} \end{align} $
-). Syarat Kedua :
$\begin{align} x_1 . x_2 & > 0 \\ 2a & > 0 \\ a & > 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{....HP1} \end{align} $
-). Syarat Ketiga :
$\begin{align} D & > 0 \\ 64 - 8a & > 0 \\ -8a & > -64 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -8, tanda dibalik)} \\ a & < 8 \, \, \, \, \, \, \, \text{....HP2} \end{align} $
*). Solusinya adalah irisan dari semua himpunan :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = 0 < a < 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ adalah $ 0 < a < 8 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar