Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui deret geometri dengan $ U_n = ({}^x \log 3)^n $ , $ x > 0 $ , $ x \neq 1 $. Jika jumlah tak hingga deret tersebut ada, maka $ x $ harus memenuhi syarat ....
A). $ x \leq \frac{1}{3} \, $ atau $ x \geq 3 $
B). $ \frac{1}{3} < x < 3 \, $
C). $ x > 3 \, $ atau $ 0 < x < \frac{1}{3} $
D). $ x \geq 3 \, $ atau $ 0 < x \leq \frac{1}{3} $
E). $ x < \frac{1}{3} \, $ atau $ x > 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Logaritma : $ {}^a \log b $
nilai $ a > 0, a \neq 1 $ dan $ b > 0 $.
*). Deret Geometri Tak Hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
dengan syarat : $ -1 < r < 1 $.
*). Pertidaksamaan Logaritma :
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) $ memiliki solusi :
jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) > g(x) $
jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) < g(x) $
*). Bentuk $ A < B < C $ dapat diselesaikan dengan
$ A < B $ dan $ B < C $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan deret tak hingga dan nilai $ r $ :
$\begin{align} U_n & = ({}^x \log 3)^n \\ U_1 & + U_2 + U_3 + ... \\ ({}^x \log 3) & + ({}^x \log 3)^2 + ({}^x \log 3)^3 + ... \\ r & = \frac{U_2}{U_1} = \frac{({}^x \log 3)^2}{({}^x \log 3)} = {}^x \log 3 \end{align} $
*). Syarat Logaritma $ {}^x \log 3 $
yaitu $ 0 < x < 1 $ atau $ x > 1 $.
*). Syarat deret tak hingga : $ -1 < r < 1 $
*). Menyelesaikan syarat-syaratnya :
-). Untuk $ 0 < x < 1 $ , tanda ketaksamaan dibalik :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & {}^x \log 3 < 1 \\ {}^x \log \frac{1}{x} < & {}^x \log 3 < {}^x \log x \\ \text{kanan : } \, {}^x \log 3 & < {}^x \log x \\ 3 > & x \\ \text{kiri : } \, {}^x \log \frac{1}{x} & < {}^x \log 3 \\ \frac{1}{x} > & 3 \\ \frac{1}{x} - 3 > & 0 \\ \frac{1 - 3x }{x} > & 0 \\ x = 0 \vee x & = \frac{1}{3} \end{align} $
 

Pada garis bilangan : $ 0 < x < \frac{1}{3} $
HP1 $ = \{ 0 < x < 1 \} \cap \{ x < 3 \} \cap \{ 0 < x < \frac{1}{3} \} $
HP1 $ = \{ 0 < x < \frac{1}{3} \} $
-). Untuk $ x > 1 $ , tanda ketaksamaan tetap :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < & {}^x \log 3 < 1 \\ {}^x \log \frac{1}{x} < & {}^x \log 3 < {}^x \log x \\ \text{kanan : } \, {}^x \log 3 & < {}^x \log x \\ 3 < & x \\ \text{kiri : } \, {}^x \log \frac{1}{x} & < {}^x \log 3 \\ \frac{1}{x} < & 3 \\ \frac{1}{x} - 3 < & 0 \\ \frac{1 - 3x }{x} < & 0 \\ x = 0 \vee x & = \frac{1}{3} \end{align} $
 

Pada garis bilangan : $ x < 0 \vee x > \frac{1}{3} $
HP2 $ = \{ x > 1 \} \cap \{ x > 3 \} \cap \{ x < 0 \vee x > \frac{1}{3} \} $
HP2 $ = \{ x > 3 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ 0 < x < \frac{1}{3} \} \cup \{ x > 3 \} \end{align} $
Jadi, $ x $ yang memenuhi $ \{ 0 < x < \frac{1}{3} \} $ atau $ \{ x > 3 \} \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar