Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2006 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \{ x \in R | a < x < b \} $ adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ (x-1)^2 + \sqrt{(x-1)^2} < 6 $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Harga Mutlak :
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} $ sehingga
$ |f(x)|^2 = (f(x))^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah soal :
$\begin{align} (x-1)^2 + \sqrt{(x-1)^2} & < 6 \\ (x-1)^2 + |x-1| & < 6 \\ |x-1|^2 + |x-1| & < 6 \\ |x-1|^2 + |x-1| - 6 & < 0 \end{align} $
*). Misalkan $ p = |x-1| > 0 \, $ (positif) :
$\begin{align} |x-1|^2 + |x-1| - 6 & < 0 \\ p^2 + p - 6 & < 0 \\ (p+3)(p-2) & < 0 \\ p = -3 \vee p = 2 \end{align} $
*). Karena nilai $ p $ positif, maka $ p = 2 $ yang memenuhi :
$\begin{align} p & = 2 \\ |x-1| & = 2 \\ |x-1|^2 & = 2^2 \\ (x-1)^2 & = 4 \\ x^2 - 2x + 1 & = 4 \\ x^2 - 2x - 3 & = 0 \\ (x + 1)(x - 3) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 3 \end{align} $
Garis bilangan :
 

Sehingga solusinya $ -1 < x < 3 $ yang sama dengan $ a < x < b $, artinya $ a = -1 $ dan $ b = 3 $.
Nilai $ a + b = -1 + 3 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar