Pembahasan Akar-akar Persamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar dari persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ 0 $ sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $ a + b + c = - 4 $, maka akar terbesar yang mungkin adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_ 3 $
Operasi penjumlahan akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Untuk menentukan akar-akar persamaan bisa dengan pemfaktoran.
*). Akar-akar persamaan boleh kita substitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $, misalkan akar-akarnya $ x_1, x_2, $ dan $ x_3 $. Salah satu akarnya 0 dan dua akar yang lainnya berlawanan, kita misalkan : $ x_1 = 0 $, $ x_2 = k $ , dan $ x_3 = -k $. ($x_2 $ dan $ x_3$ saling berlawanan).
*). Substitusi $ x_1 = 0 $ ke persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ 0^3 + a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\ c & = 0 \end{align} $
*). Operasi penjumlahan akar persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ 0 + k + (-k) & = \frac{-a}{1} \\ 0 & = -a \\ a & = 0 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 0 $ dan $ c = 0 $
*). Menentukan nilai $ b $ dari $ a + b + c = - 4 $ :
$\begin{align} a + b + c & = - 4 \\ 0 + b + 0 & = - 4 \\ b & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 0, b = -4 , c = 0 $ ke persamaan dan faktorkan :
$\begin{align} x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ x^3 + 0.x^2 + (-4).x + 0 & = 0 \\ x^3 -4x & = 0 \\ x(x^2 -4) & = 0 \\ x(x+2)(x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee (x+2)= 0 \vee (x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Sehingga akar-akar persamaannya adalah $ 0, -2 $ , dan $ 2 $. Artinya nilai terbesarnya adalah $ 2 $
Jadi, akar terbesarnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar