Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga sama kaki dengan panjang alasnya 10 cm dan tingginya 6 cm. Di dalam segitiga ini dibuat persegi panjang dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ... cm$^2$
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 20 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ (turunan pertama = 0).
*). Rumus turunan fungsi :
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Luas persegi panjang :
Luas = panjang $ \times $ lebar.
*). Konsep kesebangunan :
Dua bangun datar sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama untuk sisi-sisi yang bersesuaian.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Perhatikan gambar di atas :
-). Misalkan ukuran persegi panjangnya :
panjang $ = 2x $ dan lebar $ = y $
alas segitiga $ = 10 $ , $ BC = 5 $, $ AB = 6 $
$ IF = 2x \rightarrow FB = DE = x $
$ AD = AB - BD = 6 - y $
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ dimana $\Delta ADE $ sebangun dengan $ \Delta ABC $ :
$\begin{align} \frac{AD}{AB} & = \frac{DE}{BC} \\ \frac{6-y}{6} & = \frac{x}{5} \\ 30 - 5y & = 6x \\ 5y & = 30 - 6x \\ y & = \frac{1}{5}(30 - 6x) \end{align} $
*). Menyusun fungsi luas persegi panjangnya :
$\begin{align} L & = p \times l \\ & = 2x.y \\ & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ L & = \frac{2}{5}(30x - 6x^2) \\ L^\prime & = \frac{2}{5}(30 - 12x) \\ \text{syarat : } L^\prime & = 0 \\ \frac{2}{5}(30 - 12x) & = 0 \\ x & = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya luas maksimum pada saat $ x = \frac{5}{2} $
*). Menentukan Luas persegi panjang maksimum dengan $ x = \frac{5}{2} $ :
$\begin{align} L & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ & = 2. \frac{5}{2}.\frac{1}{5}(30 - 6.\frac{5}{2}) \\ & = 1.(30 - 15) = 15 \end{align} $
Jadi, luas maksimumnya adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar