Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ membentuk deret geometri dengan rasio 2.
Nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Akar-akar persamaan bisa kita substitusikan ke persamaannya.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama.
Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
Contoh barisan geometrinya :
$ a, ar, ar^2, ..... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Akar-akar persamaan bisa kita substitusikan ke persamaannya.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama.
Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
Contoh barisan geometrinya :
$ a, ar, ar^2, ..... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2 , x_3 $. Karena membentuk barisan geometri dengan rasio $ 2 $, maka bisa kita misalkan : $ x_1 = k , x_2= 2k , x_3 = 4k $ .
atau dengan rumus barisan geometri dengan $ a = k $ dan $ r = 2 $.
$ x_1 = a = k $
$ x_2 = ar = k.2 = 2k $
$ x_3 = ar^2 = k.2^2 = 4k $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi akar-akar :
Suku banyaknya : $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $
Nilai $ \rightarrow a = 1 , b = -7, c = p , d = q $
-). Operasi suku banyaknya :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ k + 2k + 4k & = \frac{-(-7)}{1} \\ 7k & = 7 \\ k & = 1 \end{align} $
artinya kita peroleh $ x_1 = k = 1 $ (salah satu akarnya)
*). Substitusi $ x_1 = 1 $ ke suku banyaknya :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow x^3 - 7x^2 + px + q & = 0 \\ 1^3 - 7.1^2 + p.1 + q & = 0 \\ 1 - 7 + p + q & = 0 \\ -6 + p + q & = 0 \\ p + q & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 6 . \, \heartsuit $
*). Misalkan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2 , x_3 $. Karena membentuk barisan geometri dengan rasio $ 2 $, maka bisa kita misalkan : $ x_1 = k , x_2= 2k , x_3 = 4k $ .
atau dengan rumus barisan geometri dengan $ a = k $ dan $ r = 2 $.
$ x_1 = a = k $
$ x_2 = ar = k.2 = 2k $
$ x_3 = ar^2 = k.2^2 = 4k $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi akar-akar :
Suku banyaknya : $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $
Nilai $ \rightarrow a = 1 , b = -7, c = p , d = q $
-). Operasi suku banyaknya :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ k + 2k + 4k & = \frac{-(-7)}{1} \\ 7k & = 7 \\ k & = 1 \end{align} $
artinya kita peroleh $ x_1 = k = 1 $ (salah satu akarnya)
*). Substitusi $ x_1 = 1 $ ke suku banyaknya :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow x^3 - 7x^2 + px + q & = 0 \\ 1^3 - 7.1^2 + p.1 + q & = 0 \\ 1 - 7 + p + q & = 0 \\ -6 + p + q & = 0 \\ p + q & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 6 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.