Pembahasan Teknik Integral SM Unram 2018 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \int 3\sqrt{x^7 + x^4} \, dx = ... $
A). $ \frac{1}{3} \sqrt{x^3 + 1} + C \, $
B). $ \frac{2}{3} \sqrt{x^3 + 1} + C \, $
C). $ \frac{1}{3} (x^3 + 1) \sqrt{x^3 + 1} + C \, $
D). $ (x^3 + 1) \sqrt{x^3 + 1} + C \, $
E). $ \frac{2}{3} (x^3 + 1) \sqrt{x^3 + 1} + C \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Integral teknik substitusi :
misalkan $ f(x) = u $, maka $ \frac{du}{dx} = f^\prime (x) \rightarrow dx = \frac{du}{f^\prime (x)} $
bentuk integralnya : $ \int g(x) . [f(x)]^n \, dx = \int g(x) . u^n \, \frac{du}{f^\prime (x)} $
*). Rumus integral dasar :
$ \int \, ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}. \sqrt{b} $
$ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $
$ a^{m+n} = a^m . a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ u = x^3 + 1 $ , maka turunannya :
$\begin{align} u = x^3 + 1 \rightarrow \frac{du}{dx} & = 3x^2 \\ dx & = \frac{du}{3x^2} \end{align} $
*). Mengubah bentuk fungsinya :
$\begin{align} \int 3\sqrt{x^7 + x^4} \, dx & = \int 3\sqrt{x^4(x^3 + 1)} \, dx \\ & = \int 3\sqrt{x^4 }. \sqrt{ x^3 + 1 } \, dx \\ & = \int 3x^2 \sqrt{ x^3 + 1 } \, dx \end{align} $
*). Menentukan hasil integralnya dengan substitusi persmisalannya :
$\begin{align} \int 3\sqrt{x^7 + x^4} \, dx & = \int 3x^2 \sqrt{ x^3 + 1 } \, dx \\ & = \int 3x^2 \sqrt{u} \, \frac{du}{3x^2} \\ & = \int \sqrt{u} \, du \\ & = \int u^\frac{1}{2} \, du \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} u^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2}} u^1.u^ \frac{1}{2} + c \\ & = \frac{2}{3} u \sqrt{u} + c \\ & = \frac{2}{3} ( x^3 + 1 ) \sqrt{ x^3 + 1 } + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \int 3\sqrt{x^7 + x^4} \, dx = \frac{2}{3} ( x^3 + 1 ) \sqrt{ x^3 + 1 } + c . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar