Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Asimtot tegak $ x = a $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ adalah akar dari penyebutnya.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki satu asimtot tegak jika penyebutnya hanya mempunyai satu faktor yang berbeda.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Meyederhanakan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} \\ & = \frac{(x+2)^k(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)(x+1)(x+2)} \\ & = \frac{(x+2)^k}{(x+2)^2} \end{align} $
*). Agar $ f(x) $ mempunyai satu asimtot mendatar, maka faktor penyebut harus tetap tersisa ketika disederhanakan dengan pembilangnya (harus satu jenis faktor saja) yaitu pada saat $ k = 1 $ ($k$ adalah bilangan asli).
*). Ilustrasi untuk beberapa nilai $ k $ dengan $ f(x) = \frac{(x+2)^k}{(x+2)^2} $ :
$\begin{align} k = 1 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^1}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} \\ (\text{ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 2 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^2}{(x+2)^2} = 1 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 3 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^3}{(x+2)^2} = x + 2 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 4 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^4}{(x+2)^2} = (x+2)^2 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ tidak mempunyai asimtot tegak saat $ x =\{ 2, 3, 4, ....\} $.
Jadi, $ f(x) $ mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = 1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar