Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 - 36x - 4y^2 + 8y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ y = -\frac{3}{2}x - 2 \, $
B). $ y = -\frac{3}{2}x - 4 \, $
C). $ y = \frac{3}{2}x + 2 \, $
D). $ y = \frac{3}{2}x - 2 \, $
E). $ y = \frac{3}{2}x + 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 9x^2 - 36x - 4y^2 + 8y - 4 & = 0 \\ 9(x^2 - 4x) - 4(y^2 - 2y) - 4 & = 0 \\ 9[(x-2)^2 - 4] - 4[(y-1)^2 - 1] - 4 & = 0 \\ 9(x-2)^2 -36 - 4(y-1)^2 +4 - 4 & = 0 \\ 9(x-2)^2 - 4(y-1)^2 & = 36 \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ \frac{9(x-2)^2}{36} - \frac{4(y-1)^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = 2, q = 1, a = 2, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y-1 & = \pm \frac{3}{2} (x-2) \\ y-1 = \frac{3}{2} (x-2) & \vee y-1 = - \frac{3}{2} (x-2) \\ y-1 = \frac{3}{2}x- 3 & \vee y-1 = - \frac{3}{2}x + 3 \\ y = \frac{3}{2}x- 3 + 1 & \vee y = - \frac{3}{2}x + 3 + 1 \\ y = \frac{3}{2}x- 2 & \vee y = - \frac{3}{2}x +4 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ y = \frac{3}{2}x- 2 $ atau $ y = - \frac{3}{2}x +4 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ y = \frac{3}{2}x- 2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 0 \\ \frac{(y-1)^2}{3^2} & = \frac{(x-2)^2}{2^2} \\ (y-1)^2 & = \frac{3^2}{2^2} (x-2)^2 \\ (y-1) & = \pm \sqrt{ \frac{3^2}{2^2} (x-2)^2 } \\ (y-1) & = \pm \frac{3}{2} (x-2) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar