Soal yang Akan Dibahas
Diketahui tiga vektor $ \vec{a}, \vec{b}, $ dan $ \vec{c} $ dengan
$|\vec{b}| = 3 $ , $ |\vec{c}| = 4 $ , dan $ \vec{a} = \vec{c} - \vec{b} $ .
Jika $ \gamma $ adalah sudut antara vektor $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , dengan
$ \vec{a}.\vec{c} = 25 $, maka $ \sin \gamma = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7}}{6} \, $ E). $ \frac{\sqrt{7}}{4} \, $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7}}{6} \, $ E). $ \frac{\sqrt{7}}{4} \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \rightarrow \cos \alpha = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$ \vec{a}.\vec{a} = (\vec{a})^2 = |\vec{a}|^2 $
$ |\vec{q} - \vec{r}|^2 = |\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 - 2\vec{q}.\vec{r} $
*). Rumus identitas trigonometri :
$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos ^2 x } $.
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \rightarrow \cos \alpha = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$ \vec{a}.\vec{a} = (\vec{a})^2 = |\vec{a}|^2 $
$ |\vec{q} - \vec{r}|^2 = |\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 - 2\vec{q}.\vec{r} $
*). Rumus identitas trigonometri :
$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos ^2 x } $.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang $\vec{a}$, disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \\ \vec{b} & = \vec{c} - \vec{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{b})^2 & = (\vec{c} - \vec{a})^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}.\vec{c} \\ 3^2 & = 4^2 + |\vec{a}|^2 - 2 \times 25 \\ |\vec{a}|^2 & = 43 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{b}.\vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{c} - \vec{b})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c} - \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 43 & = 4^2 + 3^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 2\vec{b}.\vec{c} & = - 18 \\ \vec{b}.\vec{c} & = -9 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \gamma $ :
$\begin{align} \cos \gamma & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{-9}{3 . 4} = \frac{-3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \gamma $ :
$\begin{align} \sin \gamma & = \sqrt{1 - \cos ^2 \gamma } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-3}{4})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{9}{16} } = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \gamma = \frac{\sqrt{7}}{4} . \, \heartsuit $
*). Menentukan panjang $\vec{a}$, disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \\ \vec{b} & = \vec{c} - \vec{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{b})^2 & = (\vec{c} - \vec{a})^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}.\vec{c} \\ 3^2 & = 4^2 + |\vec{a}|^2 - 2 \times 25 \\ |\vec{a}|^2 & = 43 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{b}.\vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{c} - \vec{b})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c} - \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 43 & = 4^2 + 3^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 2\vec{b}.\vec{c} & = - 18 \\ \vec{b}.\vec{c} & = -9 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \gamma $ :
$\begin{align} \cos \gamma & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{-9}{3 . 4} = \frac{-3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \gamma $ :
$\begin{align} \sin \gamma & = \sqrt{1 - \cos ^2 \gamma } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-3}{4})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{9}{16} } = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \gamma = \frac{\sqrt{7}}{4} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.