Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
Jika $ y = 2x^3 - 6ax + b $ , $ a > 0 $ , maka ....
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $
*). Fungsi $ y = f(x) $ dan turunannya $ f^\prime (x) $
-). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan maksimum atau minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
-). fungsi $ y = f(x) $ akan selalu naik jika setiap $ x $ berlaku $ f^\prime (x) > 0 $
-). Cek jenis stasioner untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $ :
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) > 0 $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) = 0 $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime }(x_1) < 0 $ , maka jenisnya maksimum.
*). Bentuk akar : $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = 2x^3 - 6ax + b $
$ y^\prime = 6x^2 - 6a $
$ y^{\prime \prime } = 12x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x^2 - 6a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 12\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -12\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $
Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = 2(\sqrt{a})^3 - 6a.\sqrt{a} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = -4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $ ?
Pernyataan (2) SALAH.
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = 2(-\sqrt{a})^3 - 6a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = 4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + 4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ 6x^2 - 6a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
Naik pada interval $ x < -\sqrt{a} $ atau $ x > \sqrt{a} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -\sqrt{a} \right) $ atau $ \left( \sqrt{a} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.
Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $
*). Diketahui $ y = 2x^3 - 6ax + b $
$ y^\prime = 6x^2 - 6a $
$ y^{\prime \prime } = 12x $
-). Syarat stasioner : $ y^\prime = 0 $
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 6x^2 - 6a & = 0 \\ x^2 & = a \\ x & = \pm \sqrt{a} \end{align} $
artinya $ y $ stasioner saat $ x = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $ atau $ x = - \sqrt{a} = - a^\frac{1}{2} $
-). Cek Turunan kedua :
$ \begin{align} x = \sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = 12\sqrt{a} > 0 \, (\text{min}) \\ x = -\sqrt{a} \rightarrow y^{\prime \prime } & = -12\sqrt{a} < 0 \, (\text{max}) \end{align} $
artinya $ y $ minimum saat $ x = \sqrt{a} $ dan maksimum saat $ x = -\sqrt{a} $
Kita cek setiap pernyataan :
(1). nilai minimum lokal $ y = b - 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = \sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{min} & = 2(\sqrt{a})^3 - 6a.\sqrt{a} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = 2a^\frac{3}{2} - 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = -4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b -4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.
(2). $ y $ akan stasioner saat $ x = a $ ?
Pernyataan (2) SALAH.
(3). nilai maksimum lokal $ y = b + 4a^\frac{1}{2} $ ?
minimum saat $ x = -\sqrt{a} $ , nilainya :
$ \begin{align} y_{max} & = 2(-\sqrt{a})^3 - 6a.(-\sqrt{a}) + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a.a^\frac{1}{2} + b \\ & = -2 a^\frac{3}{2} + 6a^\frac{3}{2} + b \\ & = 4 a^\frac{3}{2} + b \\ & = b + 4 a^\frac{3}{2} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.
(4). naik pada interval $ \left[ \sqrt{a} , \infty \right] $ ?
Syarat naik : $ y^\prime > 0 $
$ 6x^2 - 6a > 0 \rightarrow x = \pm \sqrt{a} $
Naik pada interval $ x < -\sqrt{a} $ atau $ x > \sqrt{a} $
atau dapat ditulis : $ \left( -\infty , -\sqrt{a} \right) $ atau $ \left( \sqrt{a} , \infty \right) $
Pernyataan (4) BENAR.
Sehingga pernyataan (4) saja yang BENAR. Jawabannya D
Jadi, pernyataan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $
